Question

7．已知x＞$\frac{1}{2}$，则函数y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{2x-1}$的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}+1$．

Answer 1

分析 把已知函数解析式变形，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x＞$\frac{1}{2}$，∴2x-1＞0，
∴y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{1}{4}（2x-1）^{2}+（2x-1）+\frac{7}{4}}{2x-1}$=$\frac{1}{4}（2x-1）+\frac{7}{4（2x-1）}+1$．
≥$2\sqrt{\frac{1}{4}（2x-1）•\frac{7}{4（2x-1）}}+1$=$\frac{\sqrt{7}}{2}+1$．
当且仅当$\frac{1}{4}（2x-1）=\frac{7}{4（2x-1）}$，即x=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$时取得最小值．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}+1$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查利用基本不等式求函数的最值，是中档题．