Question

12．已知定义在R上的函数f（x）=ln（e^2x+1）+ax（a∈R）是偶函数．
（1）求实数a的值；并判断f（x）在[0，+∞）上的单调性；（不必证明）
（2）若f（x²+$\frac{1}{x^2}$）＞f（mx+$\frac{m}{x}$）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数，可得f（1）=f（-1），求解a，然后判断函数的奇偶性以及函数的单调性．
（2）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，且是偶函数，又$f（{x^2}+\frac{1}{x^2}）＞f（mx+\frac{m}{x}）$，转化为不等式构造函数求解最值然后推出m范围．

解答 解：（1）因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（1）=f（-1），
即ln（e²+1）+a=ln（e^-2+1）-a，即$2a=ln（\frac{{{e^{-2}}+1}}{{{e^2}+1}}）=-2$，得a=-1，…4分
当a=-1时，f（x）=ln（e^2x+1）-x，
对于?x∈R，f（-x）=ln（e^-2x+1）+x=ln（e^2x+1）-x=f（x），综上a=-1…6分
f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，…8分
（2）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，且是偶函数，又$f（{x^2}+\frac{1}{x^2}）＞f（mx+\frac{m}{x}）$，
所以${x^2}+\frac{1}{x^2}＞|{mx+\frac{m}{x}}|$，…9分
令$t=x+\frac{1}{x}$，则t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
所以|mt|＜t²-2，$|m|＜|t|-\frac{2}{|t|}$恒成立，…12分
因为$|t|-\frac{2}{|t|}$，关于|t|在[2，+∞）上单调递增，
所以$|t|-\frac{2}{|t|}≥1$，所以|m|＜1恒成立，所以-1＜m＜1．…16分．

点评 本题考查函数恒成立，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，构造法的应用，考查函数思想以及计算能力．