Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，4]，f（x）＞6恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）把a=4代入函数解析式，然后利用基本不等式求最值；
（2）把不等式f（x）＞6变形，分离变量a，然后利用配方法求出二次函数的最大值得答案．

解答： 解：（1）由a=4，
得f（x）=

x2+2x+4

x

=x+

4

x

+2≥6，当x=2时，取得等号．
即当x=2时，f（x）_min=6；
（2）x∈[1，4]，

x2+2x+4

x

＞6恒成立，
即x∈[1，4]，x²+2x+a＞6x恒成立．
等价于a＞-x²+4x，当x∈[1，4]时恒成立，
令g（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，x∈[1，4]，
∴a＞g（x）_max=g（2）=4，即．
∴a的取值范围是a＞4．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，考查了分离变量法，是中档题．