Question

北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入

1

6

(x2-600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入

x

5

万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50+

1

6

（x²-600）+

1

5

x有解，等价于x＞25时，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．

解答： 解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8-

x-25

1

×0.2）x≥25×8，
整理得t²-65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+

1

6

（x²-600）+

1

5

x有解，
等价于x＞25时，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解．
由于

150

x

+

1

6

x≥2 

150 x × x 6

=10，当且仅当

150

x

=

x

6

，即x=30时等号成立，所以a≥10.2．
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

点评：解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．