题目内容
15．
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）当k=2时，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以其中它？请说明理由．
分析 （1）通过k=2，化简函数解析式，利用二次函数求解射程．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．
（3）炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k2）a2≥3.2成立，转化为关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．利用判别式，求解即可．
解答 解：（1）∵k=2，$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k}^{2}）{x}^{2}（k＞0）$，可得：$y=2x-\frac{1}{4}{x}^{2}$，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程为：8千米．
（2）在 y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx-$\frac{1}{20}$（1+k2）x2=0．
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{20}{\frac{1}{k}+k}$≤$\frac{20}{2}$=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k2）a2≥3.2成立，
即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△=400a2-4a2（a2+64）≥0，得a≤6．
此时，k=$\frac{20a±\sqrt{△}}{2{a}^{2}}$＞0．
∴当a不超过6时，炮弹可以击中目标．
点评 本题主要是求函数的最值问题以及图象和x轴的交点坐标，函数模型的运用，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
名校课堂系列答案| A． | $\frac{3}{10}$ | B． | $\frac{2}{5}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |
| A． | 命题“若“x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0” | |
| B． | “x=2”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 | |
| C． | 若命题p：存在x0∈R，使得x02-x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2-x+1≥0 | |
| D． | 若p且q为假命题，则p，q均为假命题 |