Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF₁F₂的面积为1，且tan∠AF₁F₂=$\frac{1}{2}$，tan∠AF₂F₁=-2，则双曲线方程为$\frac{{12{x^2}}}{5}-3{y^2}=1$．

Answer 1

分析 设A（m，n）．m＞0，n＞0．由tan∠AF₁F₂可得$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，由tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，由△AF₁F₂的面积为1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，联立求出A的坐标，即可得出双曲线的方程．

解答 解：设A（m，n）．m＞0，n＞0．
由tan∠AF₁F₂可得$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，
由tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，
由△AF₁F₂的面积为1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，
以上三式联立解得：c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以A（$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），F₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
根据双曲线定义可得2a=|AF₁|-|AF₂|=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
所以a=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，b=$\frac{1}{3}$，
所以双曲线方程为$\frac{{12{x^2}}}{5}-3{y^2}=1$．
故答案为$\frac{{12{x^2}}}{5}-3{y^2}=1$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．