Question

5．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函数，f（1）=-$\frac{1}{3}$．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出b的值，根据f（1）的值，求出a即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）因为f（x）在定义域为R上是奇函数，所以f（0）=0，
即$\frac{b-1}{1+a}$=0，解得：b=1，
又由f（1）=-$\frac{1}{3}$，即$\frac{1-2}{2+a}$=-$\frac{1}{3}$，解得：a=1，
经检验b=1，a=1满足题意；                           
（2）证明：由（1）知f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$，任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
 则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因为函数y=2^x在R上是增函数且x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0
又（${2}^{{x}_{1}}$+1）（${2}^{{x}_{2}}$+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上为减函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题，考查单调性的证明，是一道基础题．