Question

1．如图，已知四棱锥P-ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面体P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （I）通过证明AE⊥平面PAD得出AE⊥PD；
（II）连接PE，证明BC⊥平面PAE，于是V_P-AEF=V_F-PAE=$\frac{1}{2}$V_C-PAE．

解答 证明：（I）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（II）连接PE，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∵四边形ABCD是菱形，AB=PA=2，∠ABC=60°，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴V_C-PAE=$\frac{1}{3}$S_△PAE•CE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵F是PC的中点，
∴V_P-AEF=V_F-PAE=$\frac{1}{2}$V_C-PAE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．