Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求证：DM∥平面SAB；
（2）求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取SB的中点N，证明四边形MNAD是平行四边形，即可证明DM∥平面SAB；
（2）证明侧棱SA⊥底面ABCD，利用锥体的体积公式，可求四棱锥M-ABCD的体积．

解答： （1）证明：取SB的中点N，连接AN、MN…（2分）

∵点M是SC的中点∴MN∥BC且BC=2MN，
∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC=2，AD=1，
∴AD∥BC且BC=2AD，∴MN∥AD且MN=AD，
∴四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，…（4分）
∴DM∥平面SAB．…（6分）
（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD，
∴AB⊥SA，AB⊥AD，
∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴侧棱SA⊥底面ABCD     …（8分）
又在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，
又M是SC的中点．
∴VM-ABCD=

1

2

VS-ABCD=

1

2

•

1

3

•SABCD•SA=

1

2

•

1

3

•

(2+1)•2

2

•2=1…（12分）

点评：本题考查四棱锥的体积，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．