Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E、F分别为A₁C₁、BC的中点，AC与平面BCC₁B₁所成角为45°．
（1）求证：C₁F∥平面ABE；
（2）求三棱锥B-AFC₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点G，连接EG，FG，证明四边形FGEC₁为平行四边形，可得C₁F∥EG，即可证明C₁F∥平面ABE；
（2）利用VB-AFC1=VC1-AFB，即可求三棱锥B-AFC₁的体积．

解答： （1）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=

1

2

AC，
∵E是A₁C₁的中点，
∴FG∥EC₁，FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵AC与平面BCC₁B₁所成角为45°，
∴∠ACB=45°，
∵AC=2，
∴BC=

2

，AB=

2

，
∴VB-AFC1=VC1-AFB=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

2

×2=

1

3

．

点评：本题考查线面平行，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．