Question

已知函数y=x-

4-x2

，求值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的值域,两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用

分析：先求出自变量的取值范围，再设x=2cosα，（0≤α≤π），则y=2

2

cos（α+

π

4

），由α的范围，求出cos（α+

π

4

）的范围，问题得以解决．

解答： 解：∵4-x²≥0，∴-2≤x≤2
设x=2cosα，（0≤α≤π），
∴y=x-

4-x2

=2cosα-

4-4cos2α

=2cosα-2sinα=2

2

cos（α+

π

4

），
∵0≤α≤π，
∴

π

4

≤α+

π

4

≤

5π

4

，
∴-1≤cos（α+

π

4

）≤

2

2

∴-2

2

≤2

2

cos（α+

π

4

）≤2．
故函数y=x-

4-x2

值域[-2

2

，2]

点评：本题主要考查了函数的值域的求法，三角换元法，需要注意自变量的取值范围，属于中档题．