Question

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2b，向量

m

=（sinA，

3

2

），

n

=（1，sinA+

3

cosA），且

m

与

n

共线．
（1）求角A的大小；
（2）求

a

c

的值；
（3）若a=

3

，求边c上的高h．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：解：（1）利用向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）由c=2b，利用正弦定理可得sinC=2sinB，再利用三角形的内角和定理、两角和差的正弦公式展开即可得出C，再利用正弦定理即可得出．．
（3）利用（2）的结论，三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

与

n

共线，∴sinA(sinA+

3

cosA)-

3

2

=0，化为sin2A+

3

sinAcosA-

3

2

=0，
∴1-cos2A+

3

sin2A=3，化为2sin(2A-

π

6

)=2，即sin(2A-

π

6

)=1，
∴2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，解得A=kπ+

π

3

(k∈Z)．
∵A∈（0，π），∴k=0，A=

π

3

．
（2）∵c=2b，由正弦定理可得sinC=2sinB=2sin(

2π

3

-C)=

3

cosC+sinC，
∴cosC=0，
∵C∈（0，π），∴C=

π

2

．
∴

a

c

=

sin π 3

sin π 2

=

3

2

．
（3）∵a=

3

，∴c=

2a

3

=2，b=1，
∴S△ABC=

1

2

ab=

1

2

ch，
∴h=

ab

c

=

3

2

．

点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理、三角形的内角和定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．