Question

在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R）
（Ⅰ）若m=n=

2

3

，求|

OP

|；
（Ⅱ）用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由点的坐标求出向量

AB

和

AC

的坐标，结合m=n=

2

3

，再由

OP

=m

AB

+n

AC

求得

OP

的坐标，然后由模的公式求模；
（Ⅱ）由

OP

=m

AB

+n

AC

得到

x=m+2n y=2m+n

，作差后得到m-n=y-x，令y-x=t，然后利用线性规划知识求得m-n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴

AB

=(1，2)，

AC

=(2，1)，
又m=n=

2

3

，
∴

OP

=

2

3

(1，2)+

2

3

(2，1)=(2，2)．
∴|

OP

|=

22+22

=2

2

；
（Ⅱ）∵

OP

=m(1，2)+n(2，1)=(m+2n，2m+n)，
∴

x=m+2n y=2m+n

，两式相减得，m-n=y-x．
令y-x=t，由图可知，

当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m-n的最大值为：1．

点评：本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．