Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，设{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₂•S₃=36．
（Ⅰ）求d及S_n；
（Ⅱ）求m，k（m，k∈N^*）的值，使得a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n项和公式，把条件转化为关于公差d的二次方程求解，注意d的范围对方程的根进行取舍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{a_n}的通项公式，利用等差数列的前n项和公式，对a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65化简，列出关于m、k的方程，再由m，k∈N^*进行分类讨论，求出符合条件的m、k的值．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=1，S₂•S₃=36得，
（a₁+a₂）（a₁+a₂+a₃）=36，
即（2+d）（3+3d）=36，化为d²+3d-10=0，
解得d=2或-5，
又公差d＞0，则d=2，
所以S_n=na1+

n(n-1)

2

•d=n²（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
由a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65得，

(k+1)(am+am+k)

2

=65，
即（k+1）（2m+k-1）=65，
又m，k∈N^*，则（k+1）（2m+k-1）=5×13，或（k+1）（2m+k-1）=1×65，
下面分类求解：
当k+1=5时，2m+k-1=13，解得k=4，m=5；
当k+1=13时，2m+k-1=5，解得k=12，m=-3，故舍去；
当k+1=1时，2m+k-1=65，解得k=0，故舍去；
当k+1=65时，2m+k-1=1，解得k=64，m=-31，故舍去；
综上得，k=4，m=5．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．