Question

19．已知函数$f（x）=sin2x+2{sin^2}\frac{1}{2}x$，则$f（\frac{π}{2017}）+f（\frac{2π}{2017}）+f（\frac{3π}{2017}）+…+f（\frac{2016π}{2017}）$=2016．

Answer 1

分析 推导出f（π-x）+f（x）=2，由此能求出$f（\frac{π}{2017}）+f（\frac{2π}{2017}）+f（\frac{3π}{2017}）+…+f（\frac{2016π}{2017}）$的值．

解答 解：∵$f（x）=sin2x+2{sin^2}\frac{1}{2}x=2sinxcosx+1-cosx$，
f（π-x）=2sin（π-x）cos（π-x）+1-cos（π-x）=-2sinxcosx+1+cosx，
∴f（π-x）+f（x）=2，
∴$f（{\frac{π}{2017}}）+f（{\frac{2π}{2017}}）+f（{\frac{3π}{2017}}）$$+…+f（{\frac{2016π}{2017}}）=2×1008=2016$．
故答案为：2016．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．