已知f(x)=log4(4x+1)+kx.k∈R的图象关于y轴对称．(1)求实数k的值,(2)若关于x的方程log4(4x+1)-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a无实根.求a的取值范围,=4${\;}^{f(x)+\frac{1}{2}x}$+m•2x-1.x∈[0.log23].是否存在实数m.使得h(x)最小值为0?若存在求出m值.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx，k∈R的图象关于y轴对称．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a无实根，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{1}{2}x}$+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]，是否存在实数m，使得h（x）最小值为0？若存在求出m值，若不存在说明理由．

分析（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log₄（4^x+1）-x，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案．
（3）问题转化为y=t²+mt在t∈[1，3]上最小值为0，分类讨论，即可求出m的值．

解答解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）的图象关于y轴对称．
∴函数f（x）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-$\frac{1}{2}$；
证明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）=-$\frac{1}{2}$x，
令y=log₄（4^x+1）-x-a
由于y=log₄（4^x+1）-x-a为减函数，且恒为正，
故当a＞0时，y=log₄（4^x+1）-x-a有唯一的零点，
此时函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a有一个交点，
当a≤0时，y=log₄（4^x+1）-x-a没有零点，
此时函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点，
综上所述，a≤0时，函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点；
（3）h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{1}{2}x}$+m•2^x-1=4^x+m-2^x，x∈[0，log₂3]
设t=2^x，则t∈[1，3]
∴y=t²+mt在t∈[1，3]上最小值为0
又∵y=（t+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$，t∈[1，3]，
当-$\frac{m}{2}$≤1 即m≥-2时，t=1时y_min=m+1=0，
∴m=-1，符合，
当-1＜-$\frac{m}{2}$＜3 即-6＜m＜-2时，t=-$\frac{m}{2}$时，y_min=-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0
∴m=0 不符合
当-$\frac{m}{2}$≥3 即m≤-6时，t=3时，y_min=9+3m=0，
∴m=-3，符合，
综上所述m的值为-3，-1．