Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距为2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{10}{9}$内，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距为2，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距为2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，∴b=1，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）联立直线x-y+t=0，消去y整理得：3x²+4tx+2t²-2=0
则△=16t²-12（2t²-2）=8（-t²+3）＞0，解得-$\sqrt{3}$＜t＜$\sqrt{3}$①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4t}{3}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2t=$\frac{2t}{3}$，
即AB的中点为（-$\frac{2t}{3}$，$\frac{t}{3}$），
又∵AB的中点不在x²+y²=$\frac{10}{9}$内，
∴x²+y²=$\frac{5{t}^{2}}{9}$≥$\frac{10}{9}$
解得，m≤-$\sqrt{2}$或m≥$\sqrt{2}$②
由①②得：-$\sqrt{3}$＜m≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤m＜$\sqrt{3}$．

点评 本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．