Question

11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再将所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可求A，T，利用周期公式可求ω，又f（$\frac{π}{6}$）=2，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函数解析式．
（2）由已知利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ），
∴由图知，A=2，T=4×（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=$\frac{3}{2}$，
又f（$\frac{π}{6}$）=2，
∴2×sin（$\frac{3}{2}$×$\frac{π}{6}$+φ）=2，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
∴将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，得到的函数的解析式为：y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
再将所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数解析式为：y=g（x）=2sin[3（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin3x．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了转化思想，求φ是难点，属于中档题．