题目内容
如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，AA′=AB=2（1）求证：A′C∥平面AB′D；
（2）求二面角D一AB′一B的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连结A′B，交AB′于O，连结OD，在△A′BC中，OD是中位线，由此能证明A′C∥平面AB′D．
（2）过D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，连结DE，则∠DEF为二面角D-AB′-B的平面角，由此能求出二面角D一AB′一B的余弦值．
（2）过D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，连结DE，则∠DEF为二面角D-AB′-B的平面角，由此能求出二面角D一AB′一B的余弦值．
解答：
（1）证明：连结A′B，交AB′于O，连结OD，
在△A′BC中，∵OD是中位线，
∴OD∥A′C，
∵OD?平面AB′D，A′C不包含于平面AB′D，
∴A′C∥平面AB′D．
（2）解：正三棱柱ABC-A′B′C′中，
面BB′A′A⊥面ABC，过D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，
连结DE，则∠DEF为二面角D-AB′-B的平面角，
∵D是BC的中点，AA′=AB=2，
∴AD=
=
，DB′=
=
，AB′=
=2
，
∴DE=
=
=
，
EF=
=
，
∴cos∠DEF=
=
=
，
∴二面角D一AB′一B的余弦值为
．
在△A′BC中，∵OD是中位线，
∴OD∥A′C，
∵OD?平面AB′D，A′C不包含于平面AB′D，
∴A′C∥平面AB′D．
（2）解：正三棱柱ABC-A′B′C′中，
面BB′A′A⊥面ABC，过D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，
连结DE，则∠DEF为二面角D-AB′-B的平面角，
∵D是BC的中点，AA′=AB=2，
∴AD=
| 4-1 |
| 3 |
| 4+1 |
| 5 |
| 4+4 |
| 2 |
∴DE=
| AD•DB′ |
| AB′ |
| ||||
2
|
| ||
| 4 |
EF=
| 3BO |
| 4 |
3
| ||
| 4 |
∴cos∠DEF=
| EF |
| ED |
| ||||
|
| ||
| 5 |
∴二面角D一AB′一B的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
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