Question

下面四个命题：①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；②把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

3

个单位，得到y=3sin2x的图象；③向面积为S的三角形ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于

S

3

的概率是

5

9

；④正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1：3．
其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型

分析：①可通过含有一个量词的命题的否定来判断，存在性命题的否定是全称性命题；
②根据图象向左（右）平移，必须针对自变量x而言，即自变量x加（减），即图象平移规律，即可判断；
③这是几何概率问题，先确定两个区域，再确定一个测度，这里选面积为测度，求出它们的面积，相除即可；
④分析正方体的外接球的直径为正方体的对角线长，内切球的直径为正方体的边长，再运用球的表面积公式相除即可．

解答： 解：①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”故①正确；
②把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

3

个单位，得到y=3sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]即y=3sin（2x-

π

3

）的图象，故②错；
③记事件A={△PBC的面积大于

S

3

}，基本事件是三角形ABC，（如图）
事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D、E分别是三角形的边上的三等分点），
∵△ADE∽△ABC，且相似比为

2

3

，∴

S△ADE

S△ABC

=

4

9

，
∴阴影部分的面积是整个三角形面积的

4

9

，∴P（A）=

4

9

，
∴△PBC的面积小于

S

3

的概率是1-P（A）=1-

4

9

=

5

9

．
∴向面积为S的三角形ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于

S

3

的概率是

5

9

，故③正确；
④设正方体的边长为a，其内切球的半径为r，其外接球的半径为R，则2R=

3

a，2r=a，故正方体的内切球和其外接球的表面积之比为：4πr²：4πR²=1：3，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题以命题的真假为载体，考查三角函数的图象平移规律和几何概率的求法，以及命题的否定形式，注意与否命题的区别，考查正方体的外接球和内切球之间的关系，这些基础知识必须掌握．