Question

已知正项数列{a₁}的首项a₁=1，前n项和S_n满足a_n=2（

Sn

+

Sn-1

）（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

5

4

（n≥2）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（1）先对题目中条件进行变形，得到和式的相关数列，研究得出通项公式，然后再利用数列通项和前n项和的关系，求出数列通项公式，得到本题结论；（2）通过裂项法求和，再进行放缩，得出本题结论．

解答： 解：（1）

S1

=

a1

=1，
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=2(

Sn

+

Sn-1

)，

Sn

=

Sn-1

+2，
∴

Sn

=2n-1，Sn=(2n-1)2(n∈N*)．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=8（n-1）．
an=

1，n=1 8(n-1)，n≥2

．
（2）∵Sn=(2n-1)2＞4n(n-1)，
∴

1

Sn

＜

1

4n(n-1)

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴当n≥2时，
Tn＜1+

1

4

[

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

]=1+

1

4

×

n-1

n

＜

5

4

．

点评：本题考查了数列通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项法求和、放缩法证明不等式，本题有一定的思维难度，计算量适中，属于中档题．