Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P是椭圆上一点，点M是线段PF₁的中点，且|OF₁|=2|OM|，OM⊥PF₁，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  -1
• B、

  3

  3

• C、

  2

  -1
• D、

  2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件利用椭圆定义推导出

3

c+c=2a，由此能求出椭圆的离心率．

解答： 解：如图，∵椭

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别是F₁、F₂，O为坐标原点，
点P是椭圆上的一点，点M为PF₁的中点，
|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=

3

c，
由椭圆定义知

3

c+c=2a，∴a=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

3

-1．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．