Question

函数y=x³-3x+1在x₀处取极大值y₀，而函数y=a^x-1过点（x₀，y₀），则函数y=|a^x-1|的增区间为（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，1）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数研究函数的单调性极值可得点（x₀，y₀），即可得出a，再利用绝对值的意义与复合函数的单调性、指数函数的单调性点（x₀，y₀），即可得出．

解答： 解：∵函数y=f（x）=x³-3x+1，∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，解得x=±1．
当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增；在区间（-1，1）上单调递减．
因此当x=-1时，函数f（x）取得最大值，f（-1）=3．
∴x₀=-1，y₀=3．
∴函数y=a^x-1过点（-1，3），
∴3=a^-1-1，解得a=

1

4

．
∴函数y=|(

1

4

)x-1|=

( 1 4 )x-1，x≤0 1-( 1 4 )x，x＞0

的增区间为（0，+∞）．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、绝对值的意义、复合函数的单调性、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．