Question

已知函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x
（1）若x=3是该函数的一个极值点，求函数f（x）的单调区间
（2）若f（x）在[1，4]上是单调减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与极值的关系，先求得a，再根据导数与函数的单调性的关系即可判断函数的单调区间；
（2）由题意可得f′(x)=

a

1+x

+2x-10=

2x2-8x+a-10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，即a≤[-（2x²-8x-10）]_min，利用导数求得函数的最小值．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

a

1+x

+2x-10，
∴f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16
∴f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，其定义域为（-1，+∞），
f′(x)=

16

1+x

+2x-10=

2(x2-4x+3)

1+x

=

2(x-1)•(x-3)

1+x

，
又∵f（x）定义域为（-1，+∞），
当f'（x）＞0，即-1＜x＜1，或x＞3时，函数f（x）单调递增，
当f'（x）＜0，即1＜x＜3时，函数f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）．
（2）∵f（x）在[1，4]上是单调减函数
∴f′(x)=

a

1+x

+2x-10=

2x2-8x+a-10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，
∴2x²-8x+a-10≤0在[1，4]上恒成立，
∴a≤[-（2x²-8x-10）]_min，
∵在[1，4]上，10≤-（2x²-8x-10）≤18
∴a≤10．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．