Question

已知圆P过点A（0，4）、B（-3，5）、C（0，-4）
（1）求圆P的方程；
（2）证明：若过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别交圆P于点E，F（E，F不重合），则直线EF的斜率为定值，且定值为

3

4

；
（3）经研究发现（2）中的点A改为点B，其余条件不变，直线EF的斜率也为定值，且定值为0，若点M（x₀，y₀）（y₀≠0）为圆P上任意一点，请给出类似于（2）的正确命题（不必证明）．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆心坐标为P（a，0），则由|PA|=|PB|，可得a的值，从而可得圆P的方程；
（2）设直线AE的方程与圆P的方程联立，求得E的坐标，同理得到F的坐标，利用斜率公式，即可得出结论；
（3）类似（2）的求解，可得直线EF的斜率也为定值，且定值为

x0+3

y0

．

解答： （1）解：设圆心坐标为P（a，0），则由|PA|=|PB|，可得

a2+16

=

(a+3)2+25

，
解得a=-3，
∴r=5，
∴圆的方程为（x+3）²+y²=25；
（2）证明：设直线AE的方程为：y=kx+4与圆C的方程联立得：
（1+k²）x²+（6+8k）x=0，
解得：x=0或x=-

6+8k

1+k2

，
∴点E的坐标为（-

6+8k

1+k2

，

12k2-6k+4

1+k2

）．
同理点F的坐标为（-

6-8k

1+k2

，

12k2+6k+4

1+k2

）．
则k_EF=

12k

16k

=

3

4

为定值．
（3）类似（2）的求解，可得直线EF的斜率也为定值，且定值为

x0+3

y0

．

点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．