Question

若实数x，y，m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（Ⅰ）若x-1比1远离0，求x的取值范围；
（Ⅱ）对任意两个不相等的正数a，b，证明：

a2+b2

2

比（

a+b

2

）²远离0．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意得：|x-1|＞1，解绝对值不等式，求得它的解集．
（Ⅱ）由题意可得，本题即证

a2+b2

2

＞(

a+b

2

)2，即证 2（a²+b²）＞a²+2ab+b² ，即证 （a-b）²＞0．结合题中条件，原不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：|x-1|＞1，∴x-1＜-1，或x-1＞1，∴x＜0，或x＞2．
（Ⅱ）要证

a2+b2

2

比(

a+b

2

)2远离0，即证

a2+b2

2

＞(

a+b

2

)2，
即证  

a2+b2

2

＞

a2+2ab+b2

4

，
即证  2（a²+b²）＞a²+2ab+b² ，即证 （a-b）²＞0．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0恒成立，故原不等式成立．

点评：本题主要考查推理（归纳推理）与证明等基础知识，考查运算化简能力、推理论证能力，考查特殊与一般的思想、化归与转化的思想，属于基础题．