Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，-2），B（1，1）两点，且圆心在直线x-2y-2=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线l与圆C相交于P，Q两点，坐标原点O到直线l的距离为

1

5

，且△POQ的面积为

2

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线x-2y-2=0联立，求得圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（2）求出PQ=4，分类讨论，利用坐标原点O到直线l的距离为

1

5

，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）因为A（2，-2），B（1，1），所以k_AB=-3，AB的中点为(

3

2

，-

1

2

)，
故线段AB的垂直平分线的方程为y+

1

2

=

1

3

(x-

3

2

)，即x-3y-3=0，
由

x-3y-3=0 x-2y-2=0

，解得圆心坐标为（0，-1）．…（4分）
所以半径r满足r²=1²+（-1-1）²=5．…（6分）
故圆C的标准方程为x²+（y+1）²=5．…（7分）
（2）因为S△OPQ=

1

2

×PQ×

1

5

=

2

5

，所以PQ=4．
①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为

1

5

知，直线l的方程为x=

1

5

或x=-

1

5

，经验证，此时PQ≠4，不适合题意；            …（9分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，
由坐标原点到直线l的距离为d1=

|b|

k2+1

=

1

5

，得k²+1=25b²（*），…（11分）
又圆心到直线l的距离为d2=

|1+b|

k2+1

，所以PQ=2

5-d22

=2

5- (1+b)2 k2+1

=4，
即（1+b）²=k²+1（**），…（13分）
由（*），（**）解得

k=± 3 4 b= 1 4

．
综上所述，直线l的方程为3x+4y-1=0或3x-4y+1=0．…（14分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．