Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinφ}\\{y=cosφ}\end{array}}\right.$（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₂的极坐标方程为$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=1$．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）曲线C₁与C₂相交于P、Q两点，求过P、Q两点且面积最小的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程消去参数φ，能求出曲线C₁的普通方程；曲线C₂的极坐标方程转化为ρsinθ-ρcosθ=1，由此能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）过P、Q两点且面积最小的圆是以线段PQ为直径的圆，由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$，得2x²+3x=0，由此利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用弦长公式求出半径，由此能求出过P、Q两点且面积最小的圆的标准方程．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinφ}\\{y=cosφ}\end{array}}\right.$（φ为参数），
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinφ}\\{y=cosφ}\end{array}}\right.$消去参数φ，得曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
∵曲线C₂的极坐标方程为$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=1$，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，即y-x=1，即y=x+1．
∴曲线C₂的直角坐标方程为y=x+1．
（2）过P、Q两点且面积最小的圆是以线段PQ为直径的圆，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$，得2x²+3x=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{3}{2}，{y_1}+{y_2}={x_1}+{x_2}+2=\frac{1}{2}$，∴圆心坐标为$（{-\frac{3}{4}，\frac{1}{4}}）$，
又∵半径$r=\frac{1}{2}|{PQ}|=\frac{1}{2}\sqrt{（{1+{k^2}}）[{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
∴过P、Q两点且面积最小的圆的标准方程为${（{x+\frac{3}{4}}）^2}+{（{y-\frac{1}{4}}）^2}=\frac{9}{8}$．

点评 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，考查中位坐标公式、弦长公式、直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．