Question

6．已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=4，AC=3，若E在线段BC上，且BE=2EC，求∠EAC．

Answer 1

分析 在三角形ABC中，由余弦定理可得BC，再由BE=2EC，可得BE，EC，再在△ABC中，在△ABE中，分别求出cosB，解方程可得AE，在△AEC中，求得cos∠EAC，即可得到所求角．

解答 解：在三角形ABC中，由余弦定理可得
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC
=16+9-2×4×3×$\frac{1}{2}$=13，
即BC=$\sqrt{13}$，
BE=2EC，可得BE=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，EC=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
在△ABC中，cosB=$\frac{16+13-9}{2×4\sqrt{13}}$=$\frac{5}{2\sqrt{13}}$，
在△ABE中，cosB=$\frac{16+\frac{52}{9}-A{E}^{2}}{2×4×\frac{2\sqrt{13}}{3}}$=$\frac{5}{2\sqrt{13}}$，
解得AE=$\frac{2\sqrt{19}}{3}$，
在△AEC中，cos∠EAC=$\frac{A{E}^{2}+A{C}^{2}-E{C}^{2}}{2AE•AC}$
=$\frac{\frac{76}{9}+9-\frac{13}{9}}{2×\frac{2\sqrt{19}}{3}×3}$=$\frac{4\sqrt{19}}{19}$，
可得∠EAC=arccos$\frac{4\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题考查余弦定理在解三角形的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．