Question

7．已知圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），若P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程
（Ⅱ）求圆C上到直线ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，由题设知，圆心C（1，$\sqrt{3}$），P（2，0），过P点的切线的倾斜角为30°，设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，由正弦定理得$\frac{ρ}{sin150°}=\frac{2}{sin（30°-θ）}$，由此能求出直线l的极坐标方程．
（Ⅱ）直线的直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y+6=0，设圆上的点M（1+2cosθ，$\sqrt{3}+2sinθ$），求出点M到直线的距离d=$\frac{1}{2}[4sin（θ+\frac{π}{6}）+10]$，当θ=$\frac{π}{3}$时，点M到直线的距离取最大值，由此能求出圆C上到直线ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l
由题设知，圆心C（1，$\sqrt{3}$），P（2，0），
∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°，
设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，
则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°-θ，∠OPM=150°，
由正弦定理得$\frac{OM}{sin∠OPM}=\frac{OP}{sin∠OMP}$，
∴$\frac{ρ}{sin150°}=\frac{2}{sin（30°-θ）}$，
∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1．
（Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0，
∴直线的直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y+6=0，
设圆上的点M（1+2cosθ，$\sqrt{3}+2sinθ$），
点M到直线的距离：
d=$\frac{|1+2cosθ+\sqrt{3}（\sqrt{3}+2sinθ）+6|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}[4sin（θ+\frac{π}{6}）+10]$，
∴当θ=$\frac{π}{3}$时，点M到直线的距离取最大值$\frac{14}{2}=7$．此时M（2，2$\sqrt{3}$），
∴圆C上到直线ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查圆上到直线的最大距离的点的直角坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．