Question

3．以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求圆C的直角坐标；
（2）试判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程转化为${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，从而求出圆C的直角坐标方程（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，由此能求出圆心C的直角坐标．
（2）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为x-y+4$\sqrt{2}$=0，圆C的半径r=1，求出圆心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l的距离d=5＞r=1，由此得到直线l与圆C相离．

解答 解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$），
∴$ρ=\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ$，∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，
∴圆C的直角坐标方程为${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y$=0，即（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
∴圆心C的直角坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（2）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x-y+4$\sqrt{2}$=0，
圆C的半径r=1，圆心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l的距离：d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5＞r=1，
∴直线l与圆C相离．

点评 本题考查圆心的直角坐标的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．