Question

椭圆的焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且椭圆被直线y=x+2截得的线段长为

16 2

5

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于椭圆的离心率为

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，
由于a²=b²+c²．可得a²=4b²．椭圆的方程化为x²+4y²=4b²．与直线的方程联立，利用弦长公式即可得出．

解答： 解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵椭圆的离心率为

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，
∴a²=b²+c²=b2+

3

4

a2，化为a²=4b²．
∴椭圆的方程化为x²+4y²=4b²．
设直线与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=x+2 x2+4y2=4b2

化为5x²+16x+16-4b²=0，
△＞0化为b2＞

4

5

．
∴x₁+x₂=-

16

5

，x₁x₂=

16-4b2

5

．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2( 162 25 - 64-16b2 5 )

=

16 2

5

，
化为b²=4．满足△＞0．
∴椭圆的标准方程为：

x2

16

+

y2

4

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．