Question

已知函数f（x²-3）=lg

x2

x2-6

，
（1）求f（x）的解析式及其定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性及其单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过将原函数变成f(x2-3)=lg

(x2-3)+3

(x2-3)-3

，便可得到f（x）=lg

x+3

x-3

，而由原函数求出x²-3的范围即是f（x）的定义域：（3，+∞）；
（2）根据函数f（x）的定义域不关于原点对称即可知道f（x）非奇非偶，而求f′（x），并判断它的符号即可判断出f（x）的单调性．

解答： 解：f(x2-3)=lg

x2

x2-6

=lg

(x2-3)+3

(x2-3)-3

；
∴f(x)=lg

x+3

x-3

；
由

x2

x2-6

＞0得，x²-3＞3；
∴f（x）的定义域为（3，+∞）；
（2）∵f（x）的定义域不关于原点对称，∴f（x）为非奇非偶函数；
∵f′(x)=

-6

(x+3)(x-3)

＜0；
∴f（x）在区间（3，+∞）上单调递减．

点评：考查函数解析式的概念，以及由f[g（x）]解析式求f（x）解析式用到的方法，奇偶函数定义域的特点，根据导数符号判断函数单调性的方法．