Question

2．已知函数f（x）=e^x（x²-2x+a）（其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在（a，f（a））处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，表示出截距b=e^a（-a³+a），记g（a）=e^a（-a³+a），根据函数的单调性求出截距的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（x²-2x+a）+e^x（2x-2）=e^x（x²+a-2），
当a≥2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的递增区间是R；
当a＜2时，$f'（x）≥0?{x^2}≥2-a?x≤-\sqrt{2-a}$或$x≥\sqrt{2-a}$，
函数f（x）的递增区间是$（-∞，-\sqrt{2-a}），（\sqrt{2-a}，+∞）$，递减区间是$（-\sqrt{2-a}，\sqrt{2-a}）$；
（Ⅱ）f（a）=e^a（a²-a），f'（a）=e^a（a²+a-2），
所以直线l的方程为：y-e^a（a²-a）=e^a（a²+a-2）（x-a），令x=0得到：
截距b=e^a（-a³+a），记g（a）=e^a（-a³+a），g'（a）=e^a（-a³-3a²+a+1），
记h（a）=-a³-3a²+a+1⇒h'（a）=-3a²-6a+1＜0（∵1≤a≤3）
所以h（a）递减，h（a）≤h（1）=-2＜0，
∴g'（a）＜0，即g（a）在区间[1，3]上单调递减，
∴g（3）≤g（a）≤g（1），即截距的取值范围是：[-24e³，0]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．