Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ-sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠$\frac{π}{2}$），点A，B（A在x轴下方）是曲线C₁与C₂的两个不同交点．
（1）求曲线C₁普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得$（\frac{1}{4}co{s}^{2}α+si{n}^{2}α）{t}^{2}$-2tsinα=0，利用参数的意义，求|AB|的最大值及此时点B的坐标．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数），
普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；曲线C₂的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ-sinθ）=1，
直角坐标方程为xtanα-y-1=0；
（2）C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得$（\frac{1}{4}co{s}^{2}α+si{n}^{2}α）{t}^{2}$-2tsinα=0，
∴t₁+t₂=$\frac{2sinα}{\frac{1}{4}co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=0，
∴|AB|=|$\frac{2sinα}{\frac{1}{4}co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$|=|$\frac{8}{3sinα+\frac{1}{sinα}}$|，
∵0＜α＜π，且α≠$\frac{π}{2}$，
∴sinα∈（0，1），
∴|AB|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时B的坐标为（$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．