Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量

a

=（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）．
（1）若

a

∥

AB

，且|

AB

|=

5

|

OB

|，求向量

OB

的坐标；
（2）若

a

∥

AB

，求y=cos²θ-cosθ+t²的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理、模的计算公式即可得出；
（2）利用向量共线定理、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）

AB

=（cosθ-1，t）．
∵

a

∥

AB

，且|

AB

|=

5

|

OB

|，
∴

cosθ-1-2t=0 (cosθ-1)2+t2 = 5 cos2θ+t2

，
化为cosθ=0，t=-

1

2

．
∴

OB

=(0，-

1

2

)．
（2）∵

a

∥

AB

，∴cosθ-1-2t=0．
∴cosθ=1+2t∈[-1，1]，解得t∈[-1，0]．
∴y=cos²θ-cosθ+t²=（1+2t）²-（1+2t）+t²=5t²+2t=5(t+

1

5

)2-

1

5

，
∵t∈[-1，0]，∴当t=-

1

5

时，y取得最小值-

1

5

．

点评：本题考查了向量共线定理、模的计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．