Question

设实数x，y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=（a²+2b²）x+y的最大值为8，则2a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a²+2b²）x+y得y=-（a²+2b²）x+z，
由图象可知当y=-（a²+2b²）x+z，经过点A时，目标函数的截距最大，此时z最大，
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，解得

x=1 y=4

，即A（1，4），
则a²+2b²+4=8，
即a²+2b²=4，即

a2

4

+

b2

2

=1，
设a=2sinθ，b=

2

cosθ，
则2a+b=4sinθ+

2

cosθ=3

2

sin（θ+α），其中α为参数，
则当sin（θ+α）=-1时，2a+b有最小值为-3

2

，
故答案为：-3

2

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及三角换元法是解决本题的关键．