Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x）；
（1）求当-1≤x≤0时，f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[-1，1]上的单调区间和最大值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1），令x∈[-1，0]，由f（x+1）=2f（x），和f（x）=x（1-x）；即可求出函数f（x）的解析式．
（2）利用条件证明函数的单调性，然后利用单调性，求函数的最值即可．

解答： 解（1）令x∈[-1，0]，则x+1∈[0，1]…（1分）
由已知，得f(x)=

1

2

f(x+1)=

1

2

(x+1)[1-(x+1)]=-

1

2

x(x+1)（-1≤x≤0）．…（4分）
（2）由（1）知，当0≤x≤1时，f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，…（5分）
则f（x）在[0，

1

2

]上单调递增，在[

1

2

，1]上单调递减；…（6分）
当-1≤x≤0时，f(x)=-

1

2

(x+

1

2

)2+

1

8

，…（7分）
则f（x）在[-1，-

1

2

]上单调递增，在[-

1

2

，0]上单调递减；…（8分）
故f（x）在[-1，1]上的单调递增区间为[-1，-

1

2

]和[0，

1

2

]，
单调递减区间为[-

1

2

，0]和[

1

2

，1]；…（9分）
由f（x）在[-1，1]上的单调性知，f（x）在[-1，1]上的最大值为max{f(-

1

2

)，f(

1

2

)}；…（11分）
又f(-

1

2

)=

1

8

，f(

1

2

)=

1

4

，因此，f（x）在[-1，1]上的最大值为

1

4

．…（13分）

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键．