Question

已知函数f（x）=

2x-1

x+1

，x∈[3，5]，
（1）用定义法证明函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．
（2）利用函数的单调性求最值．

解答： 解（1）证明：任取3≤x₁＜x₂≤5，则f(x1)=

2x1-1

x1+1

，f(x2)=

2x2-1

x2+1

，
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1+1

-

2x2-1

x2+1

=

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵3≤x₁＜x₂≤5，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f(x)=

2x-1

x+1

在[3，5]上是增函数，
（2）∵f(x)=

2x-1

x+1

在[3，5]上是增函数，
∴当x=3时，f（x）有最小值f(3)=

5

4

，
当x=5时，f（x）有最大值f（5）=

3

2

．

点评：本题考查了函数单调性的证明及函数单调性的应用，证明一般有两种方法，定义法，导数法，可应用于求最值．属于基础题．