Question

已知函数f（x）=

1

x

-

1

a

，（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）在[1，2]上的最小值为

1

4

，求实数a的值；
（2）若存在m，n∈（0，+∞），使函数f（x）在[m，n]上的值域为[-n，-m]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=

1

x

-

1

a

，（a＞0，x＞0）在区间[1，2]内递减，能求出a=4．
（2）当x＞0时，f（x）=

1

x

-

1

a

单调递减，从而

f(m)= 1 m - 1 a =-m f(n)= 1 n - 1 a =-n

，进而ax²-x+a=0有两个正的不等实根，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

x

-

1

a

，（a＞0，x＞0）在区间[1，2]内递减，
∴函数f（x）在区间[1，2]内的最小值是：
f（2）=

1

2

-

1

a

=

1

4

，
解得：a=4．
（2）当x＞0时，f（x）=

1

x

-

1

a

单调递减
∵f（x）在[m，n]上的值域是[-n，-m]，
∴f（m）=-m，f（n）=-n，
即

f(m)= 1 m - 1 a =-m f(n)= 1 n - 1 a =-n

．且0＜m＜n，
即方程-x=

1

x

-

1

a

有两个不等正实根m，n，
即ax²-x+a=0有两个正的不等实根，
判别式△=1-4a²＞0，
解得-

1

2

＜a＜

1

2

，
又a＞0，故实数a的取值范围是（0，

1

2

）．

点评：本题考查实数的值和实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．