Question

设a为正实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≤-1，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥1的解集．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件知，若f（0）≤-1，则-a|a|≤-1，由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，当x＜a时，f（x）=x²+2ax-a²，分别求出其最小值后再综合判断．
（Ⅲ）x∈（a，+∞）时，由f（x）≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，利用根的判断式进行分类讨论，能求出不等式f（x）≥1的解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，
∴若f（0）≤-1，则-a|a|≤-1，
∴a²≥1，
解得a≥1，
故a的取值范围是[1，+∞）．…（2分）
（Ⅱ）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，
∵对称轴x=

a

3

，
∴f(x)min=f(a)=2a2，…（4分）
当x＜a时，f（x）=x²+2ax-a²，
∵对称轴x=-a，
∴f(x)min=f(-a)=-2a2，
综上：f(x)min=-2a2．…（6分）
（Ⅲ）x∈（a，+∞）时，f（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，
△=4a²-12（a²-1）=12-8a²，
当△≤0，即a≥

6

2

时，
不等式的解为{x|x＞a}；  …（8分）
当△＞0，即0＜a＜

6

2

时，
得

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

，
讨论：当a∈（

2

2

，

6

2

）时，解集为（a，+∞）；  …（10分）
当a∈(0，

2

2

]时，解集为[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．…（11分）
综上：当a＞

2

2

时，解集为{x|x＞a}；
当a∈(0，

2

2

]时，解集为[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．（12分）

点评：本题考查函数最小值的求法，考查不等式的解法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．