题目内容
已知向量
=
(cosx，cosx)，
=(0，sinx)，
=(sinx，cosx)，
=(sinx，sinx)
（Ⅰ）当x=
时，求向量
、
的夹角；
（Ⅱ）当x∈[0，
]时，求
•
的最大值；
（Ⅲ）设函数f（x）=（
-
）•（
+
），将函数f（x）的图象按向量
平移得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，求|
|的最小值．
| a |
| 3 |
| b |
| c |
| d |
（Ⅰ）当x=
| π |
| 4 |
| a |
| b |
（Ⅱ）当x∈[0，
| π |
| 2 |
| c |
| d |
（Ⅲ）设函数f（x）=（
| a |
| b |
| c |
| d |
| m |
| m |
考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）把x=
代入可得向量
与
的坐标，可得数量积，代入夹角公式计算可得余弦值，可得夹角；（Ⅱ）由题意可得
•
的表达式，由三角函数的公式化简，结合x的范围可得最大值；（Ⅲ）由题意可得f（x）的表达式，设
=（s，t），由图象平移的知识可得g（x）的解析式，由三角函数的知识可求最小值．
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| c |
| d |
| m |
解答：
解：（Ⅰ）∵x=
，∴
=(
，
)，
=(0，
)，
∴
•
=(
，
)•(0，
)=
，
∴cos＜
，
＞=
=
=
∴向量
、
夹角为
；
（Ⅱ）由题意可得
•
=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin2x+sinxcosx
=
+
=
+
(sin2x-cos2x)=
+
sin(2x-
)，
∵x∈[0，
]，∴-
≤2x-
≤
，
当2x-
=
，即x=
时，
•
的最大值
（Ⅲ）由题意可得f(x)=(
-
)•(
+
)=(
cosx，cosx-sinx)•(2sinx，sinx+cosx)
=2
sinxcosx+cos2x-sin2x=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)，
设
=（s，t），则g(x)=f(x-s)+t=2sin[2(x-s)+
]+t=2sin(2x-2s+
)+t=2sin2x+1
∴t=1，s=kπ+
(k∈Z)
易知当k=0时，|
|min=
+1
| π |
| 4 |
| a |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| b |
| ||
| 2 |
∴
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴cos＜
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||||||
|
| 1 |
| 2 |
∴向量
| a |
| b |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由题意可得
| c |
| d |
=
| 1-cos2x |
| 2 |
| sin2x |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
当2x-
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| c |
| d |
1+
| ||
| 2 |
（Ⅲ）由题意可得f(x)=(
| a |
| b |
| c |
| d |
| 3 |
=2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
设
| m |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴t=1，s=kπ+
| π |
| 12 |
易知当k=0时，|
| m |
|
点评：本题考查平面向量的数量积和夹角，涉及三角函数的公式和最值得求解，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
若直线l的方向向量为（-1，2），则直线l的斜率是（ ）
| A、-2 | ||
| B、2 | ||
C、
| ||
D、-
|
前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：