Question

已知数列{a_n}满足a₂=2，S_n为其前n项和，且S_n=

an(n+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求a₁的值；
（2）求证：a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（3）若b_n=a_n•2 -an+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n=2时，S₂=

a2(2+1)

2

=a₁+a₂，可求a₁，
（2）利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（3）先求出数列{b_n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．

解答： （1）解：当n=2时，S₂=

a2(2+1)

2

=a₁+a₂，
∵a₂=2，∴a₁=1．
（2）证明：当n≥2时，S_n-1=

n

2

a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=

n

n-1

a_n-1，
∴a_n=

n

n-1

a_n-1；
（3）解：∵a_n=

n

n-1

a_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

∴a_n=a₂•

a3

a2

•…•

an

an-1

=n
n=1时，a₁=1，也满足，
∴a_n=n；
∴b_n=a_n•2 -an+1=n•2^1-n，
T_n=1×2⁰+2×2^-1+3×2^-2+…+n•2^1-n，
∴

1

2

T_n=1×2^-1+2×2^-2+3×2^-3+…+n•2^-n，
两式相减整理得T_n=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．