题目内容
已知不等式ex-k-lnx-k＜0有解，则实数k的取值范围（ ）
| A、k＞0 | B、0＜k＜1 |
| C、k＜0或k＞1 | D、k＞1 |
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,其他不等式的解法
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：根据函数y=ex-k的反函数为y=lnx+k，将不等式转化为lnx+k＞x有解，即可得到结论．
解答：
解：由ex-k-lnx-k＜0得ex-k＜lnx+k，
设y=ex-k，则函数y=ex-k的反函数为y=lnx+k，
若不等式ex-k-lnx-k＜0有解，
则等价为y=lnx+k＞x．
即k＞x-lnx，
设f（x）=x-lnx，x＞0，
则函数的导数f′（x）=1-
=
，
由f′（x）＞0，解得x＞1，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
即当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=1，
则k＞1，
故选：D
设y=ex-k，则函数y=ex-k的反函数为y=lnx+k，
若不等式ex-k-lnx-k＜0有解，
则等价为y=lnx+k＞x．
即k＞x-lnx，
设f（x）=x-lnx，x＞0，
则函数的导数f′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x-1 |
| x |
由f′（x）＞0，解得x＞1，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
即当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=1，
则k＞1，
故选：D
点评：本题主要考查不等式的求解，根据互为反函数之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
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