Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁上任意一点，F为对角线DB的中点．
（Ⅰ）求证：平面CFB₁⊥平面EFB₁；
（Ⅱ）若三棱锥B-EFC的体积为1，且

D1E

D1D

=

3

4

，
①求此正方体的棱长；
②求异面直线EF与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB₁D₁D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）若三棱锥B-EFC的体积为1，且

D1E

D1D

=

3

4

，
①设正方体的棱长为a，利用V_B-EFC=V_D-EFC=

1

3

S_△DEF•CF=

1

8

a² 求出a即可．
②以D为原点，直线DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出

EF

，

B1C

，利用空间向量的数量积，求解异面直线EF与B₁C所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：E、F分别为D₁D，DB的中点，
则CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，…（3分）
∵CF?平面CFB₁，∴平面CFB₁⊥平面EFB₁；　…（6分）
（Ⅱ）解：①设正方体的棱长为a，∵CF⊥平面BDD₁B₁，∴CF⊥平面EFB₁
CF=BF=

2

2

a
∵EF=

1

2

BD₁=

3

2

a，B₁F=

BB12+BF2

=

6

2

a
B₁E=

B1D12+ED12

=

3

2

a
∴EF+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，B-EFC的体积为1
∴V_B-EFC=V_D-EFC=

1

3

S_△DEF•CF=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×

6

2

a×

3

2

a=

1

8

a²
由V_B-EFC=1，解得a=2
②以D为原点，直线DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知，D（0，0），E（0，0，

1

2

），F（1，1，0），B₁（2，2，2），C（0，1，0）
所以

EF

=（1，1，-

1

2

），

B1C

=（-2，-1，-2）
∴异面直线EF与B₁C所成角的余弦值为|cos（

B1C

，

EF

）|=|

2× 1 2 -3

3 ( 1 2 )2+2

|=

4

9

点评：本题考查平面与平面垂直，异面直线所成角的求法，几何体的条件的求法，考查计算能力以及空间想象能力．