Question

已知f（x）=kx²-kx+2
（Ⅰ）若x∈R时，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若k∈R，解关于x的不等式f（x）≤2x．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）若f（x）＞0恒成立，则k=0或

k＞0 △=k2-8k＜0

，分别求出k的范围后，综合讨论结果，可得答案．
（Ⅱ）不等式f（x）≤2x，即kx²-（k+2）x+2≤0，即（kx-2）（x-1）≤0，对k进行分类讨论，可得原不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）x∈R时，f（x）＞0恒成立，即kx²-kx+2＞0恒成立
（1）若k=0，则有2＞0恒成立；
（2）若k≠0，由题意有

k＞0 △=k2-8k＜0

，
解得：k∈（0，8），
综上 实数k的取值范围为[0，8），
（Ⅱ）∵不等式f（x）≤2x，即kx²-（k+2）x+2≤0，
即（kx-2）（x-1）≤0，
（1）若k=0，则不等式可化为-2（x-1）≤0，
解得：x≥1，
（2）若k＞0，则不等式可化为：（x-

2

k

）（x-1）≤0，
若k=2，则

2

k

=1，上不等式解得：x=1；
若k＞2，则

2

k

＜1，上不等式解得

2

k

≤x≤1；
若0＜k＜2，则

2

k

＞1，上不等式解得1≤x≤

2

k

．
（3）若k＜0，则不等式可化为：（x-

2

k

）（x-1）≥0，
解得x≥1，或x≤

2

k

．
综上所述
当k≥2时，原不等式解集[

2

k

，1]；
当0＜k＜2时，原不等式解集[1，

2

k

]；
当k=0时，原不等式解集[1，+∞）；
当k＜0时，原不等式解集（-∞，

2

k

]∪[1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．