Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为3和1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D，设弦MN的中点为P，试求

|DP|

|MN|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为3和1，求出a，c，可得b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN的中点P的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段MN的垂直平分线DP的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出

|DP|

|MN|

的关于斜率k的表达式，即可得到其取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为3和1．
∵a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=3a．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
与椭圆方程联立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．
∴弦MN的中点P（

4k2

3+4k2

，-

3k

3+4k2

）．
∴|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

12(k2+1)

4k2+3

．
直线PD的方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
∴|DP|=

3 k2(k2+1)

4k2+3

．
∴

|DP|

|MN|

=

1

4

1- 1 k2+1

．
又∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1，
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

．
∴

|DP|

|MN|

的取值范围是（0，

1

4

）．

点评：熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段MN的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键．