题目内容

证明：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的任一点到两条渐近线距离之积为定值．
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用点到直线的距离公式，结合双曲线方程，即可得出结论．
解答： 证明：设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的任一点（x，y），两条渐近线方程为bx±ay=0，
∴双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的任一点到两条渐近线距离之积为
(bx+ay)(bx-ay)
(
b2+a2
)2
=
a2b2
b2+a2
定值．
点评：本题考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线长为2
5
，设这条最短路线与交于点D．
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的棱长；
（2）求四棱锥A1-BCC1B1的体积；
（3）在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？并说明理由．
若4x=12，则x=
 
．
设集合M={1，2，3，…，2010}，集合A满足A⊆M，且当x∈A时，15x∉A，则A中元素最多有
 
个．
某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示：
200x12345
人口数y（十）万35679
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
y
=bx+a；
（3）据此估计2010年．该城市人口总数．（参考公式：
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
，
a
=
.
y
-b
.
x
）
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为3和1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D，设弦MN的中点为P，试求
|DP|
|MN|
的取值范围．
已知∠BAD=90°的等腰△ABD与正△CBD所在平面成60°的二面角，则AB与平面BCD所成角的大小为
 
．
双曲线与椭圆
x2
5
+y2=1共焦点，且一条渐近线方程是
3
x-y=0，则该双曲线的方程是
 
．
关于x的不等式x2-2ax-3a2＜0，解集为A，不等式x2+x-6＜0的解集是B，
（1）a=1时，求A∩B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

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