Question

已知f（x）=（x+1）lnx-2x，设h（x）=f′（x）+

1

ex

，若h（x）＞k（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求出f（x）的导数，再求h（x）的导数，由于h′（1）＜0，h′（2）＞0，则h′（x）在（1，2）存在一个零点x₀，得到h（x）在x=x₀处取极小值，也为最小值，且为lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

，即为lnx₀-（

x0-1

x0

）²，再由导数判断单调性，求出最小值的范围，由于k为整数，即可得到k≤0．

解答： 解：f（x）=（x+1）lnx-2x（x＞0）
则f′（x）=lnx+

1

x

-1，
即有h（x）=f′（x）+

1

ex

=lnx+

1

x

-1+

1

ex

，
则h′（x）=

1

x

-

1

x2

-

1

ex

，（x＞0）
由于h′（1）=1-1-

1

e

＜0，
h′（2）=

1

2

-

1

4

-

1

e2

＞0，
则h′（x）在（1，2）存在一个零点x₀，
当x∈（1，x₀），h′（x）＜0，x∈（x₀，2）时，h′（x）＞0，
即h（x）在x=x₀处取极小值，也为最小值，且为lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

，
由于h′（x₀）=0，即有

1

ex0

=

1

x0

-

1

x02

，
则h（x）的最小值为lnx₀-（

x0-1

x0

）²，
由于1＜x₀＜2，lnx₀-（

x0-1

x0

）²的导数为

1

x0

-2（1-

1

x0

）•

1

x02

=

x02-2x0+2

x03

＞0，故最小值的范围是（0，ln2-

1

4

），
而ln2-

1

4

＜1，故h（x）＞k（k∈Z）恒成立，即有k≤0，
则k的最大值为0．

点评：本题考查导数的运用：求极值和最值，同时考查方程的根与零点的关系，及零点存在定理的运用，考查恒成立问题转化为求函数最值问题，考查运算判断能力，属于中档题．