Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（-1）=0，对于任意x都满足1-x≤f（x）≤x²-x恒成立，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：在给出的不等式中，首先令x-1=x²-x，根据这个条件可求出一个f（x）的函数值，联立f（-1）=0，即可求出a+c与b的关系式；由给出的不等式，还可以得到的条件是：对于一切实数x，f（x）-1+x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c-1≥0对于一切实数x恒成立，观察这个不等式，只有当a＞0，且△=（b-1）²-4a（c+1）≤0时，才满足上述条件，求出a、c的值；由此得解．

解答： 解：当x-1=x²-x，即x=1时，0≤f（1）≤0，
则f（1）=0；
联立f（-1）=0，有：

a+b+c=0 a-b+c=0

，
解得：a+c=b=0；
∵对于一切实数x，f（x）-x+1≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c+1≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴a＞0且△=（b-1）²-4a（c+1）≤0，即a＞0且1-4a（c+1）≤0，
∵a+c=0，即c=-a，则4a（-a+1）≥1，即（2a-1）²≤0，但（2a-1）²≥0，则有2a-1=0，
即有a=

1

2

，c=-

1

2

，
故函数f（x）的解析式为f（x）=

1

2

x²-

1

2

．

点评：此题考查的是二次函数解析式的求法，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，解题的关键是从不等式中找出f（x）的一个定值以及抓住不等式恒成立的条件．